B015308 - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE I

Italiano

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Geometria analitica. Funzioni. Limiti; continuità. Derivate. Applicazioni. Formula di Taylor. Grafici di funzioni.

Anichini-Conti: Analisi Matematica 1. Ed. Pearson.Anichini-Conti: Geometria Analitica e Algebra Lineare. Ed. Pearson.

Istituzioni di Matematiche I (Appunti dalle lezioni del prof. Luigi Serena nell'a.a. 2011/12)
Anichini-Conti: Calcolo I, funzioni di una variabile, Pitagora editrice;
Anichini-Conti, Calcolo II Algebra lineare e Geometria analitica, Pitagora editrice

Calcolo differenziale. Algebra lineare. Geometria analitica.

Acquisizione di elementi di calcolo differenziale, algebra lineare e geometria analitica

Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali.

Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi ed esponenziali

Lezioni e esercitazioni in aula.

Lezioni ed esercitazioni in aula

Nessuna

Esame finale con prova scritta e orale

Esame finale con prova scritta ed orale

L'insieme dei numeri reali.
Insiemi; operazioni tra insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi. Postulato di Dedekind. Topologia della retta: intorno di un punto, punti di accumulazione, isolati, interni, di frontiera, esterni; insiemi chiusi, aperti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Valore assoluto; proprietà.

Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici; proprietà. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici diagonali, trasposte, simmetriche. Inversa di una matrice. Determinante: calcolo, proprietà. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica. Teorema di Binet. Teorema sulla matrice inversa. Algoritmo di Gauss per la riduzione a scala di matrici. Rango di una matrice a scala.

Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Ricerca matrice inversa. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.

Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro.
Autovalori e autovettori di una matrice. Loro ricerca. Polinomio caratteristico.
Matrici diagonalizzabili. Base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica. Criteri di diagonalizzazione.

Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà. Coniche in forma generale. Classificazione affine delle coniche.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Quadriche. Equazioni delle quadriche in forma canonica. Quadriche non degeneri: sfere, ellissoidi; paraboloidi, iper¬bo¬loidi. Quadriche degeneri; coni e cilindri.

Le funzioni.
Concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Cardinalità di un insieme. Insiemi numerabili.
Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.

Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.

Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.

Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.

Calcolo integrale. Integrale definito. Proprietà. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo delle aree. Calcolo delle primitive. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.

Programma del Corso B di Istituzioni di Matematiche I
tenuto dal prof. Luigi Serena nell’a.a. 2011/2012
Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi e sottoinsiemi. Unione ed intersezione tra insiemi.
Differenza tra insiemi. Prodotto cartesiano. Il concetto di funzione. Dominio ed immagine di una
funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche; funzioni composte. Invertibilità. Grafico di una
funzione. Relazione d’ordine e relazione d’equivalenza.
Numeri. Il principio d’induzione. Numeri razionali. Assiomi dei numeri reali. Estremo inferiore
ed estremo superiore. Assioma di completezza per i numeri reali. Radice n-esima aritmetica di un
numero reale positivo. Potenze ad esponente razionale e reale di numeri reali positivi. Logaritmi e loro
proprietà. Valore assoluto.
Topologia della retta: intorno di un punto, punti di accumulazione, punti interni, esterni, isolati
e di frontiera; insiemi chiusi, insiemi aperti.
Funzioni reali di una variabile reale. Dominio e grafico di una funzione reale di una variabile
reale.
Limiti di funzioni. Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all’infinito. Teorema
dell’unicità del limite (senza dimostrazione). Limiti destri e limiti sinistri. Estensione dei concetti di
limite destro e di limite sinistro. Operazioni sui limiti (solo le proprietà). Tabella dei limiti. Limite di
una funzione crescente o decrescente. Limite di una funzione composta ( solo la proprietà). Teorema
del sandwich: applicazioni al calcolo di alcuni limiti notevoli. Teorema della permanenza del segno.
Successioni: la definizione del numero e.
Funzioni continue. Definizione di continuità, esempi e controesempi di funzioni continue. Operazioni
sulle funzioni continue e continuità delle funzioni composte di funzioni continue (senza dimostrazione).
Continuità di y = sen x e y = cos x: Punti di massimo o minimo assoluti. Teorema
di Weierstrass (senza dimostrazione). Teorema degli zeri (senza dimostrazione). Teorema dei valori
intermedi. Condizioni sufficienti per l’invertibilità di una funzione. Un’applicazione del teorema dei
valori intermedi alle funzioni invertibili.
Calcolo differenziale. Definizione di derivata. Regole di derivazioni (senza dimostrazioni).
Derivata di una funzione composta (senza dimostrazione). Legame tra derivabilità e continuità.
Derivata della funzione inversa e calcolo delle derivate di alcune funzioni inverse. Derivate di potenze
di funzioni. Derivate n-esime.
Applicazioni del calcolo differenziale. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermàt. Punti critici.
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange e suoi corollari. Regola di de L’Hospital (senza dimostrazione).
Calcolo di limiti di forme indeterminate.
Formula di Taylor: La formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange o nella forma di
Peano (senza dimostrazioni). Stima del resto nella formula di Taylor per il calcolo approssimato di
una funzione in un punto; utilizzo della formula di Taylor nello studio dei punti critici.
Concavità, convessità,flessi: Definizioni e metodi per la loro determinazione (senza dimostrazioni).
Asintoti : definizioni e proprietà ( senza dimostrazioni).
Studio e grafico di una funzione
Integrazione. Integrale indefinito. Primitive di funzioni elementari. Metodi d’ integrazione:
scomposizione, per parti, per sostituzione. Applicazioni del calcolo integrale al calcolo delle aree.
Matrici e determinanti. Matrici. Operazioni tra matrici: definizioni e propriet`a. Determinante:
definizione e proprietà. Regola di Sarrus. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Minori e
caratteristica di una matrice. Teorema degli orlati (o di Kronecker) (senza dimostrazione).
1
Sistemi lineari. Equazioni lineari. Sistemi lineari omogenei e non omogenei. Teorema di Rouch´e
Capelli (senza dimostrazione). Regola di Cramer (senza dimostrazione). Il metodo di Gauss. Inversa
di una matrice.
Algebra vettoriale. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi e vettori applicati.
Somma tra vettori applicati nell’origine: definizione e proprietà. Prodotto di uno scalare per
un vettore applicato nell’origine: definizione e proprietà. Prodotto scalare: definizione e proprietà.
Relazione tra prodotto scalare e perpendicolarità tra due vettori; angolo tra due vettori. Proiezione di
un vettore A su un vettore B. Prodotto vettoriale: definizione e proprietà. Prodotto misto: definizione
e proprietà. Complanarità di tre vettori e loro caratterizzazione.
Geometria analitica nel piano. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche di una retta.
Passaggio dalle equazioni parametriche all’equazione cartesiana e viceversa. Parallelismo e perpendicolarit`
a tra rette. Problemi angolari. Distanza di un punto da una retta. Fascio di rette.
Le sezioni coniche. Circonferenza: definizione e proprietà. Ellisse, iperbole e parabola: definizioni
e loro studio in forma canonica. Coniche degeneri.
Geometria analitica nello spazio. Equazione cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane ed equazioni parametriche di una retta. Passaggio dalle equazioni
cartesiane alle equazioni parametriche e viceversa. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità fra
rette. Parallelismo e perpendicolarità fra una retta ed un piano. Problemi angolari. Distanza di un
punto da un piano e da una retta. Rette sghembe e loro distanza.
Testi di riferimento
Istituzioni di Matematiche I (Appunti dalle lezioni del prof. L. Serena nell’a.a. 2011/12).
Elementi di Algebra lineare e geometria; Calcolo differenziale ed integrale.
Altri testi di consultazione
Calcolo 1, Funzioni di una variabile, di Giuseppe Anichini e Giuseppe Conti, Pitagora Editrice-
Bologna, Nuova Edizione.
Calcolo 2, Algebra lineare e geometria analitica di Giuseppe Anichini e Giuseppe Conti,
Pitagora Editrice- Bologna.
Lezioni di analisi matematica I, funzioni di una variabile di Giuseppe Zwirner, Edizioni
Cedam-Padova.
Esercizi di Analisi matematica, parte prima di Giuseppe Zwirner, Edizioni Cedam-Padova.
Esercitazioni di Matematica, 1o volume, parte prima di Paolo Marcellini e Carlo Sbordone,
Liguori Editore.
Esercitazioni di Matematica, 1o volume, parte seconda di Paolo Marcellini e Carlo Sbordone,
Liguori Editore.
Note ed esercizi svolti di Geometria Analitica di Antonella Nannicini e Luisella Verdi,
Pitagora editrice-Bologna.
Gli appunti di Istituzioni di Matematiche I sono reperibili presso la copisteria Charteus oppure
consultando direttamente il docente.