B005295 - ANALISI MATEMATICA

ITALIANO

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Funzioni reali di due variabili reali: limiti e calcolo differenziale.Curve nel piano e nello spazio. Integrale definito di funzioni continue di una variabile reale:metodi di ricerca di primitive ed applicazioni al calcolo di aree. Integrali doppi ed integrali curvilinei di campi scalari. Equazioni differenziali ordinarie: integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine e delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Funzioni di più variabili: limiti, differenziabilità. Numeri complessi. Integrali doppi e multipli. Equazioni differenziali.

Durante lo svolgimento del corso verranno distribuite note sulle lezioni e schede di esercizi. Sono altresì indicati per consultazione i seguenti testi:

Calcolo 1, funzioni di una variabile di G. Anichini e G. Conti. Pitagora Editrice.

Calcolo 2, Algebra lineare e Geometria analitica di G. Anichini e G. Conti. Pitagora Editrice

Calcolo 3, funzioni di più variabili e modelli matematici di G. Anichini e G. Conti. Pitagora Editrice

A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella, Note ed esercizi svolti di Calcolo 1. Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti, Calcolo 3. Pitagora editrice.

Il corso intende potenziare e arricchire la formazione culturale e tecnico-scientifica degli allievi architetti con l’acquisizione di strumenti e di metodi analitici, bagaglio indispensabile nella preparazione professionale dell’architetto.

Acquisire familiarità con le funzioni di più variabili ed equazioni differenziali elementari

Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di matematiche I.

Istituzioni di Matematiche 1

Il corso si basa su lezioni ed esercitazioni. E’ fortemente consigliata la partecipazione attiva ed assidua. Durante il corso verranno effettuate prove scritte intermedie il cui superamento varrà per l’ammissione all’orale.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Prova scritta e prova orale unica per i due moduli.

Prova scritta e orale

CORSO DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II
PER IL CORSO DI LAUREA IN ARCHITETTURA QUINQUENNALE (Modulo Analisi matematica)
Prof.ssa Antonella Nannicini - Programma del corso a.a. 2011/2012

Analisi matematica
1. Integrali
Richiami su integrali indefiniti: definizioni e proprietà principali, regole di integrazione: scomposizione, per parti, sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Richiami su integrali definiti: definizioni e proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale
2. Funzioni di più variabili
Proprietà topologiche di Rⁿ: intorni, aperti, chiusi, limitati, connessi per archi, compatti. Funzioni di più variabili reali: definizioni preliminari, esempi, grafici. Limiti. Continuità. Funzioni continue su insiemi compatti. Funzioni continue su insiemi connessi per archi.
3. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Derivate parziali e direzionali. Gradiente. Differenziale di una funzione reale di n variabili.reali Continuità di funzioni differenziabili. Differenziabilità di funzioni di classe C¹ (senza dimostrazione). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz (senza dimostrazione). Matrice Hessiana. Formula di Taylor (senza dimostrazione). Punti critici. Massimi e minimi relativi. Criteri per lo studio dei punti critici. Massimie minimi vincolati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (senza dimostrazione). Funzioni a valori vettoriali. Derivate di funzioni a valori vettoriali. Differenziale di funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. Operazioni su campi scalari e vettoriali: divergenza, rotore, Laplaciano.
4. Curve
Curve parametrizzate, regolari, semplici. Lunghezza di una curva. Parametro ascissa curvilinea. Curve nello spazio: triedro mobile; curvatura e torsione; formule di Frénet-Serret; retta tangente, retta normale, binormale; piano osculatore, normale, rettificante. Integrali curvilinei. Baricentro di una curva.
5. Integrali multipli
Integrali multipli: definizioni e proprietà principali, significato geometrico.
Misura di Peano Jordan. Integrabilità di funzioni continue. Formule di riduzione per il calcolo di integrali multipli (senza dimostrazione). Calcolo di aree e volumi. Baricentro e momenti di inerzia. Formula del cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari, coordinate sferiche e cilindriche. Teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione.
6. Equazioni differenziali ordinarie
Definizioni preliminari. Equazioni del primo ordine: lineari, di Bernoulli, a variabili separabili; teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione). Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine 2: equazioni omogenee, equazione caratteristica, Wronskiano e sue proprietà, equazioni non omogenee, metodo di variazione delle costanti. Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione).

Numeri complessi. Definizione. Le operazioni. Forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e corollari. Esponenziale complesso.
Integrali semplici secondo Riemann. Definizione di integrabilità. Teorema: prima proprietà della media integrale. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema: seconda proprietà della media integrale. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrale indefinito. Funzione primitiva. Regole di integrazione: integrazione immediata, integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, delle funzioni trigonometriche, delle funzioni con radicali. Funzioni iperboliche e applicazioni al calcolo integrale. Calcolo di aree.
Topologia del piano. Punti interni. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi limitati. Diametro. Insiemi aperti, chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi connessi. Insiemi semplicemente connessi. Insiemi convessi.
Funzioni di più variabili. Linee di livello di una funzione di due variabili. Limiti. Continuità. Funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad un grafico. Teorema del differenziale totale. Derivata di funzioni composte. Derivata direzionale. Gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat in due variabili, hessiano. Ricerca dei massimi e minimi assoluti.
Integrali multipli. Definizioni e proprietà. Formule di riduzione. Formule di cambiamento di variabili. Volume di un solido. Formula dell'area del grafico di una funzione di due variabili. Volume e area della superficie di un solido di rotazione.
Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Equazioni differenziali in forma normale. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee), metodi di risoluzione.