Superfici: quadriche,superfici rigate, superfici di rotazione. Funzioni di più variabili: limiti, differenziabilità. Numeri complessi. Integrali doppi e multipli. Equazioni differenziali.
Dispense di di Istituzioni di Matematica II, redatte da Luigi Serena e Paolo Gronchi
Sono altresì indicati per consultazione i seguenti testi
Calcolo 1, Funzioni di una variabile di G. Anichini e G. Conti, Pitagora Editrice.
Calcolo 2, Algebra lineare e geometria analitica di G. Anichini e G. Conti, Pitagora Editrice.
Calcolo 3 funzioni di più variabili e modelli matematici di G. Anichini e G. Conti,
Pitagora Editrice.
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella, Note ed esercizi svolti di Calcolo 1. Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti, Calcolo 2,3. Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi, Note ed esercizi svolti di Geometria Analitica. Pitagora editrice.
Obiettivi Formativi - Parte A
Il corso e' finalizzato a fornire gli strumenti matematici di base, sia geometrici che analitici, che risultano indispensabili per lo studente nel suo percorso formativo, in particolare relativamente alla formazione scientifica .
Obiettivi Formativi - Parte B
Il corso intende potenziare e arricchire la formazione culturale e tecnico-scientifica degli allievi architetti con l'acquisizione di strumenti e di metodi analitici e geometrici, bagaglio indispensabile nella preparazione professionale dell'architetto.
Obiettivi Formativi - Parte C
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti matematici necessari ad affrontare altri corsi come Scienza delle costruzioni, Fisica tecnica, Geometria descrittiva.
Obiettivi Formativi - Parte D
Fornire gli studenti delle conoscenze matematiche necessarie per affrontare lo studio delle materie scientifiche e tecniche del corso di studi.
Prerequisiti - Parte A
Istituzioni di Matematiche I
Prerequisiti - Parte B
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Prerequisiti - Parte C
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Geometria analitica del piano e dello spazio. Matrici e determinanti. Sistemi lineari.
Prerequisiti - Parte D
Istituzioni di Matematiche I.
Metodi Didattici - Parte A
Lezioni frontali con esercitazioni
Metodi Didattici - Parte B
Il corso si basa su lezioni ed esercitazioni frontali.
Metodi Didattici - Parte C
Lezioni ed esercitazioni.
Metodi Didattici - Parte D
Lezioni, esercitazioni.
Altre Informazioni - Parte D
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/~lverdi/
Modalità di verifica apprendimento - Parte A
Prove scritte e una prova orale
Modalità di verifica apprendimento - Parte B
Prova scritta e prova orale. Durante il corso verranno effettuate prove scritte intermedie che, se superate, consentiranno di accedere direttamente all'orale.
Modalità di verifica apprendimento - Parte C
Una prova scritta e una prova orale.
Modalità di verifica apprendimento - Parte D
Esame scritto e esame orale.
Programma del corso - Parte A
1. Numeri complessi: definizione, parte reale e immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso. Forma esponenziale di un numero complesso. Equazioni complesse: il teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.) e le radici dell'unita'.
2. Coniche: Forme canoniche di coniche (ellissi, iperboli, parabole) e loro interpretazione geometrica. Polinomi in due variabili di secondo grado, matrice associata incompleta e completa. Rotazioni e traslazioni del piano e teorema di riduzione in forma canonica. Uso degli invarianti (autovalori, determinanti) per la classificazione del tipo di conica.
3. Integrali in una variabile: Concetto di primitiva e tecniche di calcolo: integrazione per sostituzione e per parti. Concetto di funzione integrabile tramite il concetto di somme superiori ed inferiori. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
4. Topologia del piano: insiemi aperti e chiusi, intorni, punti di accumulazione, punti di frontiera. Insiemi limitati e illimitati.
5. Funzioni di più variabili: Concetto di limite e continuità. Il teorema di Weierstrass (senza dim.).
Derivate parziali, derivate direzionali, il gradiente. Il teorema di Fermat. Concetto di differenziabilità ed esempi. Il piano tangente al grafico di una funzione differenziabile. Massimi e minimi di una funzione definita su un insieme chiuso e limitato: punti critici interni e punti di massimo e minimo al bordo. Punti critici e loro natura (max/min. locali, punti di sella): la matrice Hessiana e la formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di due variabili.
Retta tangente alla linea di livello di una funzione differenziabile in due variabili.
6. Integrali in più variabili: Domini semplici. L'integrale di una funzione in più variabili su un dominio semplice. Interpretazione geometrica. Il teorema di Fubini (senza dim.). Teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli (senza dim.) e coordinate polari.
7. Equazioni differenziali: Il problema di Cauchy e il teorema di Cauchy (senza dim.). Esistenza locale e globale. Equazioni differenziali del primo ordine lineari a coefficienti continui, a variabili separabili e di Bernoulli. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti: soluzioni generali dell'equazione omogenea e metodi risolutivi per l'equazione non omogenea.
Programma del corso - Parte B
Programma di Istituzioni di Matematiche II
Proff. Paolo Gronchi e Luigi Serena
ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA. Simmetrie. Studio delle quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento del sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Coordinate polari. Spazi vettoriali: sottospazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi. Matrici e trasformazioni lineari da Rm in Rn. Operazioni sulle matrici. Autovalori ed autovettori di una matrice quadrata. Autovalori di una matrice simmetrica. Tabelle delle classificazioni affini delle coniche e delle quadriche.
NUMERI COMPLESSI. Rappresentazione algebrica dei numeri complessi; operazioni tra numeri complessi e loro proprietà; rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi; potenza con esponente intero e radice ennesima di un numero complesso.
FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI. Elementi di topologia in R2: proprietà dei punti rispetto ad un insieme,proprietà degli insiemi. Dominio e grafico di una funzione di due variabili. Curve di livello. Limiti per le funzioni di due variabili. Funzioni continue. Proprietà delle funzioni continue:
CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI. Le derivate parziali. Relazioni tra continuità e derivabilità parziale. Interpretazione geometrica delle derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad una superficie. Interpretazione geometrica del differenziale. Derivata direzionale e gradiente. Derivate parziali degli ordini superiori. Punti critici: punti di sella, massimi e minimi relativi. Metodi per la determinazione dei punti di massimo e minimo, relativi e assoluti.
INTEGRAZIONE. Integrale definito per le funzioni continue di una variabile reale; proprietà dell'integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali di funzioni razionali; metodi d'integrazione per razionalizzazione.
CURVE IN Rn . Curve semplici e curve regolari. Curve equivalenti ed orientazione delle curve. Vettore tangente e retta tangente; proprietà della derivata. Definizione di lunghezza di una curva semplice e regolare. Curve generalmente regolari. Integrali curvilinei di campi scalari. Applicazioni: massa, centro di massa e momento d'inerzia di un filo.
INTEGRALI DOPPI. Cenni di teoria della misura; proprietà degli insiemi misurabili. Definizione di integrale doppio di una funzione continua in un insieme chiuso, limitato e misurabile. Calcolo degli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Applicazioni: massa, centro di massa e momento d'inerzia di una lamina piana ; calcolo di volumi.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Condizioni di esistenza ed unicità di soluzioni per equazioni differenziali del primo ordine. Analisi di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI D’ORDINE n. Condizioni di esistenza ed unicità delle soluzioni. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea. Wronskiano e sue proprietà . Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: determinazione di un sistema fondamentale. Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti: integrale generale e metodi per la determinazione di un integrale particolare.
Programma del corso - Parte C
Teoria delle quadriche. Classificazione delle quadriche. Quadriche in forma generale. Quadriche in forma canonica. Quadriche non degeneri: Paraboloide ellittico, paraboloide iperbolico, iperboloide a una falda, iperboloide a due falde, ellissoide, sfera. Quadriche non degeneri: coni e cilindri quadrici. Esempi in architettura.
Integrali indefiniti. Integrazione per sostituzione, per parti. Integrazione di funzioni razionali. Integrali di funzioni trascendenti. Integrali impropri. Criteri di convergenza.
Definizione di numero complesso; operazioni e relative proprietà. Modulo e coniugato di un numero complesso. Il piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica; argomento e argomento principale. Prodotto e divisione di due numeri complessi in forma trigonometrica; la formula di De Moivre. Le radici n-esime di un numero complesso; interpretazione geometrica. Scomposizione in fattori di un polinomio. Il teorema fondamentale dell’algebra.
Topologia del piano e dello spazio; intorno di un punto, punti di accumulazione, punti interni, isolati, di frontiera, esterni. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, con¬ves¬si, connessi.
Funzioni di più variabili; definizione, campo di esistenza, grafico; curve di livello; massimi e minimi relativi e assoluti.
Definizione di limite; calcoli di limiti; metodo delle coordinate polari. Funzioni continue; proprietà delle funzioni continue; teoremi di esistenza del massimo e del minimo as¬so¬luti e dei valori intermedi.
Derivate parziali; significato geometrico; funzioni differenziabili e differenziale; pro¬prie¬tà delle funzioni differenziabili (continuità e derivabilità); funzioni di classe C1; teore¬ma del differenziale totale. Applicazioni. Teorema sulla derivata di una funzione composta. Retta orientata, coseni direttori; derivate direzionali, significato geome¬trico. Gradiente; sue proprietà e significato geometrico.
Superfici nello spazio; piano tangente ad una superficie in forma cartesiana.
Derivate parziali di ordine superiore; teorema di Schwarz.
Teorema dell'annullamento delle derivate parziali nei punti di massimo e di minimo relativi. Punti di sella; determinante hessiano; ricerca dei punti di massimo e di minimo relativi e dei punti di sella.
Funzioni implicite; teorema del Dini. Retta tangente ad una curva nel piano in forma cartesiana.
Massimi e minimi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Ricerca dei massimi e dei minimi assoluti di una funzione di più variabili.
Curve nel piano e nello spazio in forma parametrica; curve semplici, curve regolari, curve chiuse, curve generalmente regolari. Retta tangente ad una curva. Lun¬ghezza di una curva generalmente regolare. Curve orientate.
Integrali doppi; definizione e proprietà. Significato geometrico. Domini normali rispetto agli assi cartesiani. Calcolo degli integrali doppi. Calcolo di volumi. Metodo di Cava¬lieri.
Insiemi piani misurabili; insiemi di misura nulla.
Trasformazioni piane; determinante jacobiano. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Area di una superficie. Baricentro di una figura.
Equazioni differenziali; definizione, esempi, condizioni iniziali; soluzioni di un'equa¬zione differenziale. equazioni differenziali in forma normale. Problema di Cauchy; teo¬rema di Cauchy e teorema di Peano sull'esistenza di soluzioni.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, formula risolutiva. Equazioni diffe¬renziali del primo ordine: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza ed unicità delle solu¬zioni. Equazioni differenziali lineari omogenee. Soluzioni linearmente dipendenti e in¬dipendenti. Wronskiano. Condizione necessaria e sufficiente affinché le solu¬zioni siano linearmente indipendenti. Sistema fondamentale di soluzioni; integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea.
Equazioni differenziali lineari non omogenee; forma delle soluzioni generali. Solu¬zioni particolari.
Metodo di Lagrange delle variazioni delle costanti arbitrarie.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Ricerca della soluzione generale; equazione caratteristica. Ricerca delle soluzioni particolari di un'equazione differen¬ziale lineare in alcuni casi notevoli.
Spazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Spazi di dimensione finita. Base di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Isomorfismo. Teorema nullità più rango. Matrice associata ad un’applicazione lineare. Cambiamento di base. Autovettori e autovalori. Polinomio ed equazione caratteristica. Diagonalizzazione di matrici. Condizione necessaria e condizioni sufficienti.
Programma del corso - Parte D
Algebra lineare e geometria analitica. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi di Rⁿ. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Teorema spettrale. Coniche come luoghi geometrici. Cambiamenti di riferimento. Riduzione a forma canonica delle coniche e loro classificazione. Sfera, circonferenza: intersezione di un piano e una sfera, intersezione di due sfere; coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche in forma canonica.
Numeri complessi. Definizione. Le operazioni. Forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e corollari. Esponenziale complesso.
Integrali semplici secondo Riemann. Definizione di integrabilità. Teorema: prima proprietà della media integrale. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema: seconda proprietà della media integrale. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrale indefinito. Funzione primitiva. Regole di integrazione: integrazione immediata, integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, delle funzioni trigonometriche, delle funzioni con radicali. Funzioni iperboliche e applicazioni al calcolo integrale. Calcolo di aree.
Topologia del piano. Punti interni. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi limitati. Diametro. Insiemi aperti, chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi connessi. Insiemi semplicemente connessi. Insiemi convessi.
Funzioni di più variabili. Linee di livello di una funzione di due variabili. Limiti. Continuità. Funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad un grafico. Teorema del differenziale totale. Derivata di funzioni composte. Derivata direzionale. Gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat in due variabili, hessiano. Ricerca dei massimi e minimi assoluti.
Integrali multipli. Definizioni e proprietà. Formule di riduzione. Formule di cambiamento di variabili. Volume di un solido. Formula dell'area del grafico di una funzione di due variabili. Volume e area della superficie di un solido di rotazione.
Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Equazioni differenziali in forma normale. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee), metodi di risoluzione.