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B015308 - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE I
Principali informazioni
Lingua Insegnamento
Contenuto del corso
Libri di testo consigliati
Obiettivi Formativi
Prerequisiti
Metodi Didattici
Altre Informazioni
Modalità di verifica apprendimento
Programma del corso
Anno Accademico 2012-13
Coorte 2012 - Laurea Magistrale Ciclo unico 5 anni in ARCHITETTURA
Anno di corso
Primo Anno - Primo Semestre
Dipartimento di Afferenza
Architettura (DiDA)
Tipo insegnamento
Attività formativa monodisciplinare
Settore Scientifico disciplinare
MAT/03 - GEOMETRIA
Crediti Formativi
8
Ore Didattica
80
Periodo didattico
24/09/2012 ⇒ 18/01/2013
Frequenza Obbligatoria
No
Tipo Valutazione
Voto Finale
Contenuto del corso
mostra
Programma del corso
mostra
Docenza
- Parte A CIANCHI ANDREA
- Parte B VERDI LUISELLA
- Parte C NANNICINI ANTONELLA
- Parte D GRONCHI PAOLO
Lingua Insegnamento - Parte A
Italiano
Lingua Insegnamento - Parte B
Italiano
Lingua Insegnamento - Parte C
Italiano
Contenuto del corso - Parte A
Geometria analitica. Funzioni. Limiti; continuità. Derivate. Applicazioni. Formula di Taylor. Grafici di funzioni.
Contenuto del corso - Parte B
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Coniche. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici.Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Contenuto del corso - Parte C
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Coniche. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici.Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale e applicazioni.
Libri di testo consigliati - Parte B (Cerca nel catalogo della biblioteca)
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
Libri di testo consigliati - Parte C (Cerca nel catalogo della biblioteca)
Nannicini A., "Esercizi svolti di algebra lineare vol. I" Pitagora
Nannicini A., Verdi L., "Note ed esercizi svolti di Geometria analitica" PitagoraT.Apostol, Nannicini A., Verdi L., Vessella S., "Note ed esercizi svolti di Calcolo I" Pitagora.
Nannicini A., Verdi L., "Note ed esercizi svolti di Geometria analitica" PitagoraT.Apostol, Nannicini A., Verdi L., Vessella S., "Note ed esercizi svolti di Calcolo I" Pitagora.
Obiettivi Formativi - Parte A
Calcolo differenziale. Algebra lineare. Geometria analitica.
Obiettivi Formativi - Parte B
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Parte C
Rispondere alle esigenze di una qualificata formazione scientifica e culturale degli allievi architetti come previsto dalla direttiva CEE. Il Corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione di corsi successivi nell'area scientifica.
Prerequisiti - Parte A
Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali.
Prerequisiti - Parte B
Le nozioni geometriche e algebriche della scuola media inferiore e superiore.
Prerequisiti - Parte C
Calcolo algebrico. Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Nozioni di base di algebra e geometria acquisite nelle scuole secondarie superiori.
Metodi Didattici - Parte A
Lezioni e esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Parte B
Lezioni, esercitazioni. Sono previste prove intermedie per facilitare l'apprendimento.
Metodi Didattici - Parte C
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Altre Informazioni - Parte A
Nessuna
Altre Informazioni - Parte B
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/~lverdi/
www.math.unifi.it/~lverdi/
Altre Informazioni - Parte C
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/users/nannicini
www.math.unifi.it/users/nannicini
Modalità di verifica apprendimento - Parte A
Esame finale con prova scritta e orale
Modalità di verifica apprendimento - Parte B
Prova scritta e orale.
Modalità di verifica apprendimento - Parte C
Esame finale con prova scritta ed orale. Sono previste prove scritte intermedie.
Programma del corso - Parte A
L'insieme dei numeri reali.
Insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi.
Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne di matrici. Inversa di una matrice. Determinante. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica.
Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà. Coniche in forma generale. Classificazione affine delle coniche.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Le funzioni reali di variabile reale.
Definizione di funzione. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli.
Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Calcolo integrale. Integrale definito. Proprietà. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo delle aree. Calcolo delle primitive. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.
Insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi.
Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne di matrici. Inversa di una matrice. Determinante. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica.
Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà. Coniche in forma generale. Classificazione affine delle coniche.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Le funzioni reali di variabile reale.
Definizione di funzione. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli.
Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Calcolo integrale. Integrale definito. Proprietà. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo delle aree. Calcolo delle primitive. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.
Programma del corso - Parte B
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, complementare. Prodotto cartesiano. Applicazioni, grafico di un'applicazione, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, composte, inverse. Cenni di logica.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy (dim.). Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange: applicazioni per calcoli approssimati. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy (dim.). Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange: applicazioni per calcoli approssimati. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.
Programma del corso - Parte C
Corso di Istituzioni di Matematiche I
per il corso di laurea in Architettura Quinquennale
a.a. 2012/2013 (corso C - Prof.ssa Antonella Nannicini)
Programma del corso
1. Algebra Lineare
1.1 Lo spazio Rn
Struttura lineare di Rn: somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza e indipendenza lineare, basi. Struttura metrica standard su Rn .
1.2 Lo spazio delle matrici Mn,m(R)
Struttura lineare di Mn,m(R): somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza lineare, basi. Prodotto righe per colonne. Determinante, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Formula di Cramer. Inversa di una matrice. Struttura metrica standard su Mn,m(R).
1.3 Lo spazio dei vettori liberi
Struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale, prodotto misto e proprietà relative.
1.4 Spazi vettoriali
Definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione.
1.5 Applicazioni lineari
Definizioni ed esempi fondamentali; nucleo ed immagine, teorema della nullità e rango e sue conseguenze. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare.
1.6 Sistemi di equazioni lineari
Caratteristica per righe, per colonne e rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
1.7 Autovalori e autovettori
Definizioni ed esempi fondamentali. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione. Teorema spettrale reale (senza dimostrazione).
2. Elementi di Geometria Analitica
2.1 Geometria analitica del piano
Rette: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiana, parallelismo e perpendicolarità; distanza di un punto da una retta. Coniche: definizioni ed esempi, riduzione in forma canonica, teorema di classificazione.
2.2 Geometria analitica dello spazio
Rette e piani: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiane; parallelismo e perpendicolarità; fascio di piani; rette sghembe; distanza da una retta e da un piano, distanza fra due rette.
3. Analisi Matematica
3.1 Topologia della retta
Intervalli, intorni, punti di accumulazione, punti interni, insiemi chiusi e aperti.
3.2 Funzioni
Applicazioni fra insiemi: dominio, codominio, immagine; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni reali di variabile reale. Insieme di esistenza, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche, limitate, crescenti, decrescenti. Operazioni sulle funzioni: somma, prodotto, composizione, inversa.
3.3 Limiti
Definizione di limite finito e infinito in un punto e all’infinito. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, confronto. Operazioni sui limiti. Limiti di forme indeterminate. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi. Asintoti.
3.4 Funzioni continue
Definizioni ed esempi. Operazioni con le funzioni continue: somma, prodotto, quoziente, valore assoluto. Continuità della funzione composta (senza dimostrazione).
3.5 Proprietà globali delle funzioni continue
Teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa (senza dimostrazione). Teorema di Weirstrass (senza dimostrazione).
3.6 Derivate
Definizione e significato geometrico. Continuità e derivabilità. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa (senza dimostrazione). Derivate successive. Differenziale.
3.7 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e loro applicazione allo studio del grafico di una funzione: crescenza, decrescenza, massimi e minimi relativi. Teorema di Cauchy e di De l’Hôpital, applicazioni al calcolo dei limiti.
3.8 Formula di Taylor
Formula di Taylor e di Mc Laurin (senza dimostrazioni). Applicazioni allo studio del grafico di una funzione: massimi e minimi relativi, concavità, convessità e flessi.
3.8 Integrali
Primitive. Integrale indefinito. Regole di integrazione: scomposizione, per parti, sostituzione. Cenni sull’integrale definito: definizione e proprietà, il teorema fondamentale del calcolo integrale (senza dimostrazione), formula fondamentale del calcolo integrale; area di un dominio normale.
Testi di riferimento
Antonella Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 Pitagora
Antonella Nannicini – Luisella Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora
Antonella Nannicini – Luisella Verdi – Sergio Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo I Pitagora
per il corso di laurea in Architettura Quinquennale
a.a. 2012/2013 (corso C - Prof.ssa Antonella Nannicini)
Programma del corso
1. Algebra Lineare
1.1 Lo spazio Rn
Struttura lineare di Rn: somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza e indipendenza lineare, basi. Struttura metrica standard su Rn .
1.2 Lo spazio delle matrici Mn,m(R)
Struttura lineare di Mn,m(R): somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza lineare, basi. Prodotto righe per colonne. Determinante, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Formula di Cramer. Inversa di una matrice. Struttura metrica standard su Mn,m(R).
1.3 Lo spazio dei vettori liberi
Struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale, prodotto misto e proprietà relative.
1.4 Spazi vettoriali
Definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione.
1.5 Applicazioni lineari
Definizioni ed esempi fondamentali; nucleo ed immagine, teorema della nullità e rango e sue conseguenze. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare.
1.6 Sistemi di equazioni lineari
Caratteristica per righe, per colonne e rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
1.7 Autovalori e autovettori
Definizioni ed esempi fondamentali. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione. Teorema spettrale reale (senza dimostrazione).
2. Elementi di Geometria Analitica
2.1 Geometria analitica del piano
Rette: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiana, parallelismo e perpendicolarità; distanza di un punto da una retta. Coniche: definizioni ed esempi, riduzione in forma canonica, teorema di classificazione.
2.2 Geometria analitica dello spazio
Rette e piani: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiane; parallelismo e perpendicolarità; fascio di piani; rette sghembe; distanza da una retta e da un piano, distanza fra due rette.
3. Analisi Matematica
3.1 Topologia della retta
Intervalli, intorni, punti di accumulazione, punti interni, insiemi chiusi e aperti.
3.2 Funzioni
Applicazioni fra insiemi: dominio, codominio, immagine; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni reali di variabile reale. Insieme di esistenza, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche, limitate, crescenti, decrescenti. Operazioni sulle funzioni: somma, prodotto, composizione, inversa.
3.3 Limiti
Definizione di limite finito e infinito in un punto e all’infinito. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, confronto. Operazioni sui limiti. Limiti di forme indeterminate. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi. Asintoti.
3.4 Funzioni continue
Definizioni ed esempi. Operazioni con le funzioni continue: somma, prodotto, quoziente, valore assoluto. Continuità della funzione composta (senza dimostrazione).
3.5 Proprietà globali delle funzioni continue
Teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa (senza dimostrazione). Teorema di Weirstrass (senza dimostrazione).
3.6 Derivate
Definizione e significato geometrico. Continuità e derivabilità. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa (senza dimostrazione). Derivate successive. Differenziale.
3.7 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e loro applicazione allo studio del grafico di una funzione: crescenza, decrescenza, massimi e minimi relativi. Teorema di Cauchy e di De l’Hôpital, applicazioni al calcolo dei limiti.
3.8 Formula di Taylor
Formula di Taylor e di Mc Laurin (senza dimostrazioni). Applicazioni allo studio del grafico di una funzione: massimi e minimi relativi, concavità, convessità e flessi.
3.8 Integrali
Primitive. Integrale indefinito. Regole di integrazione: scomposizione, per parti, sostituzione. Cenni sull’integrale definito: definizione e proprietà, il teorema fondamentale del calcolo integrale (senza dimostrazione), formula fondamentale del calcolo integrale; area di un dominio normale.
Testi di riferimento
Antonella Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 Pitagora
Antonella Nannicini – Luisella Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora
Antonella Nannicini – Luisella Verdi – Sergio Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo I Pitagora