Quadriche. Autovalori e autovettori. Funzioni di due variabili. Numeri complessi. Integrali semplici e doppi. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
Contenuto del corso - Parte B
Superfici: quadriche, superfici rigate, superfici di rotazione. Funzioni di più variabili: limiti, differenziabilità. Numeri complessi. Integrali doppi e multipli. Equazioni differenziali.
Contenuto del corso - Parte C
Coniche e quadriche. Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali; determinazione degli autovalori e dei rispettivi autovettori degli operatori lineari. Funzioni reali di due variabili reali: limiti e calcolo differenziale. Curve nel piano e nello spazio. Integrale definito di funzioni continue di una variabile reale: metodi di ricerca di primitive ed applicazioni al calcolo di aree. Integrali doppi ed equazioni differenziali.
Saranno consegnate dal docente le dispense del corso. Per eventuali approfondimenti possono essere consultati
G. Anichini, G. Conti Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 3 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella. Note ed esercizi svolti di Calcolo 1. Pitagora Editrice.
A. Nannicini, L. Verdi, Note ed esercizi svolti di Geometria Analitica. Pitagora editrice.
G. Anichini e G. Conti.
Calcolo 2,3 Pitagora Editrice.
Durante lo svolgimento del corso verranno distribuite note sulle lezioni e schede di esercizi. Sono altresì indicati per consultazione i seguenti testi:
A. Nannicini Esercizi svolti di Algebra lineare vol. 2 Pitagora editrice
A. Nannicini L. Verdi Note ed esercizi svolti di algebra lineare Pitagora editrice
G. Anichini e G. Conti Analisi Matematica 2 Pearson
Calcolo 3, funzioni di più variabili e modelli matematici di G. Anichini e G. Conti. Pitagora Editrice
Obiettivi Formativi - Parte A
Fornire gli studenti delle conoscenze matematiche necessarie per affrontare lo studio delle materie scientifiche e tecniche del corso di studi.
Obiettivi Formativi - Parte B
Fornire gli studenti delle conoscenze matematiche necessarie per affrontare lo studio delle materie scientifiche e tecniche del corso di studi.
Obiettivi Formativi - Parte C
Il corso intende potenziare e arricchire la formazione culturale e tecnico-scientifica degli allievi architetti con l’acquisizione di strumenti e di metodi analitici, bagaglio indispensabile nella preparazione professionale dell’architetto.
Prerequisiti - Parte A
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Prerequisiti - Parte B
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Prerequisiti - Parte C
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I
Metodi Didattici - Parte A
Il corso si basa su lezioni ed esercitazioni frontali.
Metodi Didattici - Parte B
Il corso si basa su lezioni ed esercitazioni frontali.
Metodi Didattici - Parte C
Lezioni ed esercitazioni frontali in aula come previsto dall'orario ufficiale.
Altre Informazioni - Parte A
Per ulteriori informazioni consultare la pagina
http://web.math.unifi.it/users/pgronchi/
Altre Informazioni - Parte B
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/~lverdi/
Altre Informazioni - Parte C
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web personale all'indirizzo
www.math.unifi.it/users/nannicini
Modalità di verifica apprendimento - Parte A
Prova scritta e prova orale.
Modalità di verifica apprendimento - Parte B
Prova scritta e prova orale. Durante il corso verranno effettuate prove scritte intermedie.
Modalità di verifica apprendimento - Parte C
Prova scritta e prova orale finale. Durante il corso sono previste due prove scritte intermedie, in caso di esito positivo lo studente sosterrà solo la prova orale nella sessione invernale 2014, dette prove si terranno di giorni:
14 novembre 2013 ore 14.00
19 dicembre 2013 ore 14.00
Programma del corso - Parte A
Coniche e quadriche: Le quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, traslazioni e rotazioni. Tabelle delle classificazioni affini di coniche e quadriche; centro e piani di simmetria.
Matrici e trasformazioni lineari: Matrice associata ad una trasformazione lineare; autovalori, autovettori, autospazi e criterio di diagonalizzazione di una matrice quadrata; autovalori come massimi e minimi di una forma quadratica; teorema spettrale per matrici reali simmetriche.
Funzioni di due variabili: Grafico di una funzione e sue curve di livello; derivate direzionali, derivate parziali e gradiente di una funzione; legame tra il gradiente e le curve di livello e tra il gradiente ed il piano tangente al grafico di una funzione; punti critici e loro classificazione mediante la matrice hessiana; derivate seconde direzionali e loro rappresentazione come forma quadratica associata alla matrice hessiana; sostituzione o metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei massimi e minimi vincolati.
Numeri complessi: Operazioni nei numeri complessi, rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di numeri complessi; radici complesse coniugate di un polinomio a coefficienti reali; cenno alla funzione esponenziale complessa.
Integrali: Integrali definiti e loro applicazione al calcolo delle aree di una regione piana; integrali doppi e loro applicazione al calcolo di un volume, al calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili negli integrali doppi e passaggio alle coordinate polari.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione omogenea e la sua dimensione; polinomio caratteristico e generatori dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea; soluzione particolare per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con termine noto di forma conveniente; studio del moto di un grave in caduta libera con e senza attrito; studio del moto dell’oscillatore semplice, libero, smorzato e forzato; risonanza.
Programma del corso - Parte B
Algebra lineare e geometria analitica. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi di R?. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Teorema spettrale. Coniche come luoghi geometrici. Cambiamenti di riferimento. Riduzione a forma canonica delle coniche e loro classificazione. Sfera, circonferenza: intersezione di un piano e una sfera, intersezione di due sfere; coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche in forma canonica.
Numeri complessi. Definizione. Le operazioni. Forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e corollari. Esponenziale complesso.
Integrali semplici secondo Riemann. Definizione di integrabilità. Teorema: prima proprietà della media integrale. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema: seconda proprietà della media integrale. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrale indefinito. Funzione primitiva. Regole di integrazione: integrazione immediata, integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, delle funzioni trigonometriche, delle funzioni con radicali. Funzioni iperboliche e applicazioni al calcolo integrale. Calcolo di aree.
Topologia del piano. Punti interni. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi limitati. Diametro. Insiemi aperti, chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi connessi. Insiemi semplicemente connessi. Insiemi convessi.
Funzioni di più variabili. Linee di livello di una funzione di due variabili. Limiti. Continuità. Funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad un grafico. Teorema del differenziale totale. Derivata di funzioni composte. Derivata direzionale. Gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat in due variabili, hessiano. Ricerca dei massimi e minimi assoluti.
Integrali multipli. Definizioni e proprietà. Formule di riduzione. Formule di cambiamento di variabili. Volume di un solido. Formula dell'area del grafico di una funzione di due variabili. Volume e area della superficie di un solido di rotazione.
Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Equazioni differenziali in forma normale. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee), metodi di risoluzione.
Programma del corso - Parte C
1. Algebra lineare
1.1. L'insieme C dei numeri complessi
Definizione, rappresentazione algebrica, geometrica e trigonometrica di un numero complesso. Formula di De Moivre. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Rappresentazione esponenziale e logaritmo di un numero complesso. Funzioni trigonometriche. Lo spazio vettoriale Cⁿ e lo spazio M_{n,m}(C) delle matrici n×m a elementi complessi.
1.2. Forme bilineari
Definizioni ed esempi fondamentali; rappresentazione matriciale. Forme quadratiche. Algoritmo di Gauss-Lagrange per la diagonalizzazione per congruenza di matrici simmetriche.
1.3. Prodotti scalari
Definizioni ed esempi fondamentali. Ortogonalità. Vettori isotropi. Basi ortogonali. Teorema di esistenza di basi ortogonali (senza dimostrazione). Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Indici di positività, negatività e nullità di un prodotto scalare. Spazi euclidei. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Operatore trasposto. Operatori simmetrici.
1.4. Spazi hermitiani
Definizioni ed esempi fondamentali. Spazi hermitiani. Matrici hermitiane. Operatore aggiunto. Operatori normali.
1.5. Teoria spettrale negli spazi hermitiani ed euclidei
Teorema spettrale complesso. Teorema spettrale reale. Calcolo degli indici di un prodotto scalare mediante la teoria spettrale. Proprietà estremali degli autovalori di una matrice simmetrica (senza dimostrazione).
2. Geometria analitica e proiettiva
2.1. Superfici quadriche
Definizione ed esempi fondamentali. Classificazione affine. Alcune quadriche come luoghi geometrici di punti dello spazio.
Analisi matematica
1. Integrali
Richiami su integrali indefiniti: definizioni e proprietà principali, regole di integrazione: scomposizione, per parti, sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Richiami su integrali definiti: definizioni e proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale
2. Funzioni di più variabili
Proprietà topologiche di Rⁿ: intorni, aperti, chiusi, limitati, connessi per archi, compatti. Funzioni di più variabili reali: definizioni preliminari, esempi, grafici. Limiti. Continuità. Funzioni continue su insiemi compatti. Funzioni continue su insiemi connessi per archi.
3. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Derivate parziali e direzionali. Gradiente. Differenziale di una funzione reale di n variabili.reali Continuità di funzioni differenziabili. Differenziabilità di funzioni di classe C¹ (senza dimostrazione). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz (senza dimostrazione). Matrice Hessiana. Formula di Taylor (senza dimostrazione). Punti critici. Massimi e minimi relativi. Criteri per lo studio dei punti critici. Massimie minimi vincolati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (senza dimostrazione). Funzioni a valori vettoriali. Derivate di funzioni a valori vettoriali. Differenziale di funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. Operazioni su campi scalari e vettoriali: divergenza, rotore, Laplaciano.
4. Curve
Curve parametrizzate, regolari, semplici. Lunghezza di una curva. Parametro ascissa curvilinea. Curve nello spazio: triedro mobile; curvatura e torsione; formule di Frénet-Serret; retta tangente, retta normale, binormale; piano osculatore, normale, rettificante. Integrali curvilinei. Baricentro di una curva.
5. Integrali multipli
Integrali multipli: definizioni e proprietà principali, significato geometrico.
Misura di Peano Jordan. Integrabilità di funzioni continue. Formule di riduzione per il calcolo di integrali multipli (senza dimostrazione). Calcolo di aree e volumi. Baricentro e momenti di inerzia. Formula del cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari, coordinate sferiche e cilindriche. Teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione.
6. Equazioni differenziali ordinarie
Definizioni preliminari. Equazioni del primo ordine: lineari, di Bernoulli, a variabili separabili; teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione). Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine 2: equazioni omogenee, equazione caratteristica, Wronskiano e sue proprietà, equazioni non omogenee, metodo di variazione delle costanti. Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy (senza dimostrazione).