Geometria analitica. Funzioni. Limiti; continuità. Derivate. Applicazioni. Formula di Taylor. Grafici di funzioni.
Contenuto del corso - Parte B
Vettori e matrici. Sistemi lineari. Richiami di geometria analitica piana. Coniche. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici.Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Contenuto del corso - Parte C
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Sistemi lineari. Rette nel piano. Rette e piani nello spazio. Coniche. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale ed applicazioni.
Contenuto del corso - Parte D
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Coniche. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici.Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Nannicini A., "Esercizi svolti di algebra lineare vol. I" Pitagora
Nannicini A., Verdi L., "Note ed esercizi svolti di Geometria analitica" PitagoraT.Apostol,
G. Anichini e G. Conti- Calcolo 1- Pitagora editrice
G. Anichini, G. Conti- Calcolo 2- Pitagora editrice
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi matematica che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Parte C
Rispondere alle esigenze di una qualificata formazione scientifica e culturale degli allievi architetti come previsto dalla direttiva CEE. Il Corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione di corsi successivi nell'area scientifica.
Obiettivi Formativi - Parte D
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Prerequisiti - Parte A
Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali.
Prerequisiti - Parte B
Le nozioni geometriche e algebriche della scuola media inferiore e superiore.
Prerequisiti - Parte C
Calcolo algebrico. Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Nozioni di base di algebra e geometria euclidea acquisite nelle scuole secondarie superiori.
Prerequisiti - Parte D
Le nozioni geometriche e algebriche della scuola media inferiore e superiore.
Metodi Didattici - Parte A
Lezioni e esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Parte B
Lezioni, esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Parte C
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Parte D
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Altre Informazioni - Parte A
Nessuna
Altre Informazioni - Parte B
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/~lverdi/
Altre Informazioni - Parte D
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web del docente all'indirizzo:
www.math.unifi.it/~lverdi/
Modalità di verifica apprendimento - Parte A
Esame finale con prova scritta e orale
Modalità di verifica apprendimento - Parte B
Prova scritta e orale.
Modalità di verifica apprendimento - Parte C
Esame finale con prova scritta ed orale. Sono previste prove scritte intermedie.
Modalità di verifica apprendimento - Parte D
Esame finale con prova scritta ed orale. Sono previste prove scritte intermedie.
Programma del corso - Parte A
L'insieme dei numeri reali.
Insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi.
Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici. Prodotto righe per colonne di matrici. Inversa di una matrice. Determinante. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica.
Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà. Coniche in forma generale. Classificazione affine delle coniche.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Le funzioni reali di variabile reale.
Definizione di funzione. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli.
Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Calcolo integrale. Integrale definito. Proprietà. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo delle aree. Calcolo delle primitive. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.
Programma del corso - Parte B
L'insieme dei numeri reali.
Insiemi; operazioni tra insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi. Postulato di Dedekind. Topologia della retta: intorno di un punto, punti di accumulazione, isolati, interni, di frontiera, esterni; insiemi chiusi, aperti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Valore assoluto; proprietà.
Matrici e determinanti.
Matrici. Operazioni tra matrici; proprietà. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici diagonali, trasposte, simmetriche. Inversa di una matrice. Determinante: calcolo, proprietà. Combinazione lineare, lineare dipendenza e indipendenza di righe e colonne. Rango e caratteristica. Teorema di Binet. Teorema sulla matrice inversa. Algoritmo di Gauss per la riduzione a scala di matrici. Rango di una matrice a scala.
Sistemi lineari.
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei. Teorema e regola di Cramer. Ricerca matrice inversa. Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Vettori.
Rappresentazione dei numeri reali su una retta. Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori liberi ed applicati. Operazioni tra vettori; prodotto scalare, proprietà; Ortogonalità. Modulo. Disuguaglianza di Cauchy- Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Vettori complanari e loro caratterizzazione. Prodotto vettoriale; proprietà. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Prodotto misto; proprietà. Volume di un tetraedro.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Equazione parametrica e cartesiana di una retta. Retta per due punti. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Coniche; circonferenza, ellisse, iperbole e parabola: definizione e proprietà.
Piani nello spazio. Piano ortogonale ad un vettore. Piani paralleli; piani perpendicolari. Distanza di un punto da un piano. Retta in forma parametrica. Retta per due punti. Retta come intersezione di due piani. Parametri direttori di una retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette e fra rette e piani. Distanza di un punto da una retta. Angolo fra rette. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano. Rette sghembe; distanza fra due rette sghembe. Posizione di due rette nello spazio e di tre piani nello spazio. Fascio di piani.
Le funzioni.
Concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. . Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio della variazione di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Calcolo integrale
Integrale definito di una funzione limitata; proprietà. Integrazione di funzioni continue e monotone. Teorema della media. Teorema fondamantale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale. Applicazioni del calcolo integrale; calcolo delle aree.
Ricerca delle primitive. Primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per decomposizione, sostituzione e parti. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione di alcune classi di funzioni.
Programma del corso - Parte C
Elementi di teoria degli insiemi: Insiemi e sottoinsiemi. Unione ed intersezione tra insiemi. Differenza tra insiemi. Prodotto cartesiano. Il concetto di funzione. Dominio ed immagine di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche; funzioni composte. Invertibilità. Grafico di una funzione. Relazione d'ordine e relazione d'equivalenza.
Insiemi numerici: Il principio d'induzione. Numeri razionali. Assiomi dei numeri reali. Estremo inferiore ed estremo superiore. Assioma di completezza per i numeri reali. Radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo. Potenze ad esponente razionale e reale di numeri reali positivi. Logaritmi e loro proprietà. Valore assoluto.
Matrici: Operazioni sulle matrici, determinante di una matrice quadrata, minori e caratteristica di una matrice; matrice trasposta e matrice inversa; rango di una matrice e riduzione a scala.
Sistemi lineari: Metodo di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli, Teorema di Cramer; sistemi omogenei e non omogenei.
Algebra vettoriale: Operazioni tra vettori: somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto; interpretazione geometrica delle operazioni; angolo tra due vettori e proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore.
Geometria analitica: Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio; equazione vettoriale e cartesiana di una retta nel piano; equazioni cartesiane ed equazione vettoriale di una retta nello spazio; equazione cartesiana di un piano dello spazio; condizioni di perpendicolarità e parallelismo, angoli tra rette e piani, distanze tra punti, rette e piani; fasci di rette e fasci di piani. Figure piane notevoli e loro simmetrie: circonferenze, ellissi, iperboli e parabole; coniche in forma canonica.
Spazi vettoriali: Combinazioni lineari e generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione di sottospazi vettoriali.
Limiti di funzioni: Definizione di limite al finito e all’infinito; unicità del limite; limite destro e limite sinistro; criteri per la non esistenza del limite, proprietà dei limiti, teorema della permanenza del segno, teorema dei carabinieri; limiti notevoli.
Funzioni reali di una variabile reale: Dominio e grafico di una funzione; funzioni continue e loro proprietà; Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi; definizione di derivata e sua interpretazione geometrica; proprietà della derivata e regole di derivazione; massimi e minimi relativi; Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange; Teorema di de l’Hospital e formula di Taylor.
Grafici di funzioni: Simmetrie, asintoti, intervalli di crescenza e decrescenza, intervalli di convessità e concavità, punti di flesso.
Integrali indefiniti: Definizione e proprietà degli integrali indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione; integrali immediati ed integrali notevoli.
Programma del corso - Parte D
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, complementare. Prodotto cartesiano. Applicazioni, grafico di un'applicazione, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, composte, inverse. Cenni di logica.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy. Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange: applicazioni per calcoli approssimati. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Definizione di funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrali immediati.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.