Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici.
Contenuto del corso - Cognomi E-M
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Contenuto del corso - Cognomi N-Z
Algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari, sistemi lineari , autovalori e autovettori.
Geometria analitica del piano e dello spazio: rette, piani, coniche.
Funzioni, limiti, derivate, integrali.
P. Marcellini & C. Sbordone, ANALISI MATEMATICA UNO, Liguori Editore.
J.P. Cecconi & G. Stampacchia, ANALISI MATEMATICA vol l, Liguori Editore.
Per le parti 3 e 4:
P. Manselli, L. Serena & L. Verdi, APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA ED ALGEBRA LINEARE
parte 1 e 2.
Per gli esercizi:
P. Marcellini & C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica voi 1 parte 1 e 2, Liguori Editore
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
A. Nannicini
Lezioni di Algebra Lineare pitagora
A. Nannicini
Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 Pitagora
A. Nannicini L. Verdi
Note ed esercizi svolti di Geometria Analitica Pitagora
A. Nannicini L. Verdi S. Vessella
Note ed Esercizi svolti di Calcolo 1
Pitagora
Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi matematica che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-M
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Cognomi N-Z
Rispondere alle esigenze di una qualificata formazione scientifica e culturale degli allievi architetti come previsto dalla direttiva CEE. Il Corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione di corsi successivi nell'area scientifica.
Prerequisiti - Cognomi A-D
Nozioni di base di algebra e geometria previste nei programmi delle scuole secondarie superiori.
Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Risoluzione di equazioni algebriche, trigonometriche, logaritmiche, esponenziali.
Prerequisiti - Cognomi E-M
Le nozioni geometriche e algebriche della scuola media inferiore e superiore.
Prerequisiti - Cognomi N-Z
Calcolo algebrico. Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Nozioni di base di algebra e geometria acquisite nelle scuole secondarie superiori.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi E-M
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi N-Z
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Altre Informazioni - Cognomi N-Z
Per ulteriori informazioni controllare la pagina web del docente all'indirizzo
www.math.unifi.it/users/nannicini
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-D
Esame finale con prove scritte e orali.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-M
Compito scritto e orale.Sono previste prove intermedie.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi N-Z
Esame finale con prova scritta e prova orale. Sono previste prove scritte intermedie.
Programma del corso - Cognomi A-D
1. Fondamenti.
Teoria degli insiemi. Unione, intersezione, differenza, complementare.
Corrispondenze, relazioni, applicazioni. Immagine di un'applicazione. Applicazioni iniettive, suriettive,
biunivoche. Applicazioni composte ed inverse. Prodotto cartesiano. Grafico. Relazioni di equivalenza.
Relazioni di ordine. Numeri reali: definizione assiomatica.
Maggiorante, massimo, estremo superiore.
Numeri naturali, interi e razionali.
Rappresentazioni dei numeri reali su una retta cartesiana. Radice n-esima. Potenza con esponente reale.
Logaritmo. Proprietà di potenze e logaritmi. II principio di induzione. Binomio di Newton.
Polinomi, quoziente di polinomi. Richiami di trigonometria. Equazioni,
disequazioni (contenenti eventualmente parametri) dei tipi seguenti: algebriche di I e Il grado (e di grado
superiore, ad esse riconducibili), fratte, irrazionali, logaritmiche, esponenziali, trigonometriche.
2. Analisi matematica.
Funzioni reali di variabile reale. Rappresentazione geometrica del grafico.
Funzioni elementari: algebriche, trigonometriche, logaritmiche, esponenziali. Funzioni monotone,
funzioni limitate. Massimo e minimo di una funzione.
Intervalli. Intorni e punti di accumulazione. Limiti di funzioni. Primi teoremi sui limiti di funzioni.
Operazioni sui limiti e teoremi relativi. Forme indeterminate. Limite destro e sinistro in un punto. Limiti
di funzioni composte.
Funzioni continue. Classificazione delle discontinuità. Primi teoremi sulle funzioni continue. Continuità
delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: Teorema di
esistenza degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Funzioni inverse delle
funzioni elementari.
Infinitesimi ed infiniti. Confronto. Ordine di infinitesimo e di infinito. Simboli "o" e "O" . Principio di
sostituzione degli infinitesimi.
Derivata. Interpretazione geometrica. Derivate delle funzioni elementari.
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni composte ed inverse. Derivate successive. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Funzioni convesse. Asintoti. Studio del
grafico di funzioni (anche con parametro). Teoremi di L'De L'Hopital. Formula di Taylor con resto in forma
di Peano e di Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor alla ricerca dei massimi e minimi locali di
funzioni. Polinomi di Mc Laurin di funzioni elementari.
Primitive. Integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti immediati.
Formule di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali con denominatore
di grado non superiore a due. Formula per il calcolo di integrali definiti. Applicazioni al calcolo delle aree
di regioni piane e dei volumi di solidi di rotazione.
3. Geometria analitica.
Piano e spazio cartesiano. Vettori applicati. Corrispondenza biunivoca fra
punti e vettori applicati nell' origine. Somma, prodotto per numeri reali e significato geometrico. Prodotto
scalare. Vettori ortogonali e collineari. Proiezione di un vettore lungo un altro vettore.
Angolo fra vettori. Prodotto vettoriale, prodotto misto. Combinazioni lineari. Vettori
linearmente dipendenti e indipendenti. Relazione tra dipendenza lineare, collinearità e complanarità.
Geometria analitica nel piano. Equazione parametrica e cartesiana della retta. Parallelismo e ortogonalità fra rette. Angolo fra rette. Distanza di un punto da una retta. Fascio di
rette. Circonferenza.
Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica e cartesiana del piano
e della retta. Distanza di un punto da un piano e da una retta. Fascio di piani. Posizione reciproca di retta e piano. Angolo fra rette, piani e fra retta e piano. Rette sghembe e loro distanza. Sfera.
4. Algebra lineare.
Spazi vettoriali. Prime proprietà ed esempi. Dipendenza e indipendenza
lineare. Generatori, basi, dimensione. Sottospazi vettoriali. Lo spazio vettoriale delle matrici. Prodotto
righe per colonne tra matrici.
Applicazioni lineari. Applicazioni lineari da R^n a R^m. Nucleo e immagine;
teorema della nullità più rango.
Determinanti e loro proprietà. Matrice inversa.
Prodotto scalare in n. Norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e
disuguaglianza triangolare. Basi ortonormali.
Sistemi lineari. Caratteristica e rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli. Metodi risolutivi: teorema di Cramer e metodo di Gauss.
DIMOSTRAZIONI DEI TEOREMI E DELLE PROPRIETA' SVOLTE DURANTE IL CORSO.
APPLICAZIONI ED ESERCIZI SU TUTTA LA TEORIA.
Programma del corso - Cognomi E-M
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, complementare. Prodotto cartesiano. Applicazioni, grafico di un'applicazione, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, composte, inverse. Cenni di logica.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy (dim.). Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Definizione di funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrali immediati.Integrazione per parti e per sostituzione.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.
Programma del corso - Cognomi N-Z
1.1 Lo spazio R^n
Struttura lineare di R^n: somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza e indipendenza lineare, basi. Struttura metrica standard su R^n .
1.2 Lo spazio delle matrici Mn,m( R)
Struttura lineare di Mn,m( R): somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza lineare, basi. Prodotto righe per colonne. Determinante, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e sue conseguenze. Teorema di Cramer. Formula di Cramer. Inversa di una matrice. Struttura metrica standard su Mn,m(R ).
1.3 Lo spazio dei vettori liberi
Struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale, prodotto misto e proprietà relative. 1.4 Spazi vettoriali
Definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione.
1.5 Applicazioni lineari
Definizioni ed esempi fondamentali; nucleo ed immagine, teorema della nullità e rango e sue conseguenze. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare. Matrici simili e endomorfismi. Determinante e traccia di un endomorfismo.
1.6 Sistemi di equazioni lineari
Caratteristica per righe, per colonne e rango di una matrice. Riduzione a scala di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Equazioni matriciali e Teorema di Rouché-Capelli generalizzato.
1.7 Autovalori e autovettori
Definizioni ed esempi fondamentali. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione di endomorfismi e matrici. Criterio di diagonalizzabilità. Teorema spettrale reale (senza dimostrazione). Matrici ortogonali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
2. Elementi di Geometria Analitica
2.1 Geometria analitica del piano
Rette: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiana, parallelismo e perpendicolarità; distanza di un punto da una retta. Coniche: definizioni ed esempi, riduzione in forma canonica, teorema di classificazione (senza dimostrazione).
2.2 Geometria analitica dello spazio
Rette e piani: equazioni vettoriale, parametriche e cartesiane; parallelismo e perpendicolarità; fascio di piani; stella di piani, rette sghembe; distanza da una retta e da un piano, distanza fra due rette. Angolo fra due rette, fra piani, fra una retta e un piano.
3.1 Topologia della retta
Introduzione assiomatica dell’insieme dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme dell’insieme dei numeri reali. L’insieme dei numeri reali esteso.
Intervalli. Valore assoluto. Potenza a esponente reale, logaritmo. Intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni, insiemi chiusi e aperti.
3.2 Funzioni
Applicazioni fra insiemi: dominio, codominio, immagine; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni reali di variabile reale. Insieme di esistenza, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche, limitate, crescenti, decrescenti. Operazioni sulle funzioni: somma, prodotto, quoziente, composizione, inversa. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iperboliche.
3.3 Limiti
Definizione di limite finito e infinito in un punto e all’infinito. Limite destro e sinistro. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, confronto. Operazioni sui limiti. Limiti di forme indeterminate. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi. Principio di sostituzione di infinitesimi e infiniti. Asintoti.
3.4 Funzioni continue
Definizioni ed esempi. Operazioni con le funzioni continue: somma, prodotto, quoziente, valore assoluto. Continuità della funzione composta.
3.5 Proprietà globali delle funzioni continue
Teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa. Teorema di Weirstrass (senza dimostrazione).
3.6 Derivate
Definizione e significato geometrico. Continuità e derivabilità. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Differenziale.
3.7 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e loro applicazione allo studio del grafico di una funzione: crescenza, decrescenza, massimi e minimi relativi. Teorema di Cauchy e di De l’Hôpital, applicazioni al calcolo dei limiti.
3.8 Formula di Taylor
Formula di Taylor e di Mc Laurin (senza dimostrazioni). Applicazioni allo studio del grafico di una funzione: massimi e minimi relativi, concavità, convessità e flessi.
3.8 Integrali
Primitive. Integrale indefinito. Regole di integrazione: scomposizione, per parti, sostituzione, integrazione di semplici funzioni razionali (caso in cui il denominatore si scompone in fattori lineari). Cenni sull’integrale definito: definizione e proprietà. Integrabilità di funzioni continue (senza dimostrazione). Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale. Area di un dominio normale. Volume di un solido di rotazione.
Testi di riferimento
Antonella Nannicini Lezioni di Algebra Lineare Pitagora
Antonella Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 Pitagora
Antonella Nannicini Luisella Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora
Antonella Nannicini Luisella Verdi Sergio Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo I Pitagora