Classificazione di coniche e quadriche. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione di matrici. Funzioni di due variabili, gradiente e matrice hessiana. Massimi e minimi vincolati. Numeri complessi e esponenziale complessa. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Moto dell’oscillatore semplice, libero, smorzato e forzato; risonanza. Integrali doppi, calcolo di volumi, centri di massa e momenti d’inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili.
Contenuto del corso - Cognomi E-M
Geometria e algebra lineare: diagonalizzazione, teorema spettrale, coniche, quadriche, superfici rigate, superfici di rotazione. Funzioni di più variabili: limiti,continuità, differenziabilità, massimi e minimi. Numeri complessi. Integrali doppi e multipli. Equazioni differenziali.
Contenuto del corso - Cognomi N-Z
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali. Numeri complessi. Coniche e quadriche. Equazioni differenziali. Autovalori e autovettori di una matrice quadrata.
Saranno consegnate dal docente le dispense del corso. Per eventuali approfondimenti possono essere consultati
G. Anichini, G. Conti Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 3 Pitagora editrice.
Le dispense del corso saranno consegnate dal docente. Per eventuali approfondimenti possono essere consultati
G. Anichini, G. Conti Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
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Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
Il corso intende fornire al futuro architetto qualche strumento matematico utile per la comprensione di argomenti che incontrerà successivamente.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-M
Conoscenze delle funzioni di più variabili e risoluzione di equazioni differenziali
Obiettivi Formativi - Cognomi N-Z
Familiarità con alcuni problemi matematici quali: ricerca di massimi e minimi liberi o vincolati di una funzione di due variabili, risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, determinazione del baricentro di una lamina o del volume di un solido, classificazione di una conica o una quadrica.
Prerequisiti - Cognomi A-D
Gli argomenti incontrati nel corso di Istituzioni Matematiche 1
Prerequisiti - Cognomi E-M
Il programma di Istituzioni di Matematiche I.
Prerequisiti - Cognomi N-Z
Tutti gli argomenti trattati nel corso di Istituzioni di Matematiche I.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
Lezioni frontali ed esercitazioni in aula
Metodi Didattici - Cognomi E-M
Lezioni ed esercitazioni.
Metodi Didattici - Cognomi N-Z
Lezioni ed esercitazioni frontali.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-D
Prove finali scritta e orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-M
Prova scritta e orale. Sono Previste prove intermedie.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi N-Z
Compito scritto e prova orale.
Programma del corso - Cognomi A-D
Coniche e quadriche: Le quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, traslazioni e rotazioni. Tabelle delle classificazioni affini di coniche e quadriche; centro e piani di simmetria.
Matrici e trasformazioni lineari: Matrice associata ad una trasformazione lineare; autovalori, autovettori, autospazi e criterio di diagonalizzazione di una matrice quadrata; autovalori come massimi e minimi di una forma quadratica; teorema spettrale per matrici reali simmetriche.
Funzioni di due variabili: Grafico di una funzione e sue curve di livello; derivate direzionali, derivate parziali e gradiente di una funzione; legame tra il gradiente e le curve di livello e tra il gradiente ed il piano tangente al grafico di una funzione; punti critici e loro classificazione mediante la matrice hessiana; derivate seconde direzionali e loro rappresentazione come forma quadratica associata alla matrice hessiana; sostituzione o metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei massimi e minimi vincolati.
Numeri complessi: Operazioni nei numeri complessi, rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di numeri complessi; radici complesse coniugate di un polinomio a coefficienti reali; cenno alla funzione esponenziale complessa.
Integrali: Integrali definiti e loro applicazione al calcolo delle aree di una regione piana; integrali doppi e loro applicazione al calcolo di un volume, al calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili negli integrali doppi e passaggio alle coordinate polari.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione omogenea e la sua dimensione; polinomio caratteristico e generatori dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea; soluzione particolare per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con termine noto di forma conveniente; studio del moto di un grave in caduta libera con e senza attrito; studio del moto dell’oscillatore semplice, libero, smorzato e forzato; risonanza.
Programma del corso - Cognomi E-M
Algebra lineare e geometria analitica. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi di R?. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Teorema spettrale. Coniche come luoghi geometrici. Cambiamenti di riferimento. Riduzione a forma canonica delle coniche e loro classificazione. Sfera, circonferenza: intersezione di un piano e una sfera, intersezione di due sfere; coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche in forma canonica.
Numeri complessi. Definizione. Le operazioni. Forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra e corollari. Esponenziale complesso.
Integrali semplici secondo Riemann. Definizione di integrabilità. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue e monotone. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Integrale indefinito. Funzione primitiva. Regole di integrazione: integrazione immediata, integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, delle funzioni trigonometriche, delle funzioni con radicali. Funzioni iperboliche e applicazioni al calcolo integrale. Calcolo di aree.
Topologia del piano. Punti interni. Punti di accumulazione. Punti isolati. Insiemi limitati. Diametro. Insiemi aperti, chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi connessi. Insiemi convessi.
Funzioni di più variabili. Linee di livello di una funzione di due variabili. Limiti. Continuità. Funzioni composte. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Piano tangente ad un grafico. Teorema del differenziale totale. Derivata di funzioni composte. Derivata direzionale. Gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat in due variabili, hessiano. Ricerca dei massimi e minimi assoluti.
Integrali multipli. Definizioni e proprietà. Formule di riduzione. Formule di cambiamento di variabili. Volume di un solido. Formula dell'area del grafico di una funzione di due variabili. Volume e area della superficie di un solido di rotazione.
Equazioni differenziali ordinarie. Generalità. Equazioni differenziali in forma normale. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Teorema di esistenza e unicità per il Problema di Cauchy. Wronskiano. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee), metodi di risoluzione.
Programma del corso - Cognomi N-Z
Coniche e quadriche: Le quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, traslazioni e rotazioni. Tabelle delle classificazioni affini di coniche e quadriche; centro e piani di simmetria.
Matrici e trasformazioni lineari: Matrice associata ad una trasformazione lineare; autovalori, autovettori, autospazi e criterio di diagonalizzazione di una matrice quadrata; autovalori come massimi e minimi di una forma quadratica; teorema spettrale per matrici reali simmetriche.
Funzioni di due variabili: Grafico di una funzione e sue curve di livello; derivate direzionali, derivate parziali e gradiente di una funzione; legame tra il gradiente e le curve di livello e tra il gradiente ed il piano tangente al grafico di una funzione; punti critici e loro classificazione mediante la matrice hessiana; derivate seconde direzionali e loro rappresentazione come forma quadratica associata alla matrice hessiana; sostituzione o metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei massimi e minimi vincolati.
Numeri complessi: Operazioni nei numeri complessi, rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di numeri complessi; radici complesse coniugate di un polinomio a coefficienti reali; cenno alla funzione esponenziale complessa.
Integrali: Integrali definiti e loro applicazione al calcolo delle aree di una regione piana; integrali doppi e loro applicazione al calcolo di un volume, al calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili negli integrali doppi e passaggio alle coordinate polari.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione omogenea e la sua dimensione; polinomio caratteristico e generatori dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea; soluzione particolare per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con termine noto di forma conveniente; studio del moto di un grave in caduta libera con e senza attrito; studio del moto dell’oscillatore semplice, libero, smorzato e forzato; risonanza.