Spazi vettoriali. Geometria analitica del piano e dello spazio. Matrici, determinante, rango e caratteristica.
Sistemi lineari: metodo di Gauss, Teoremi di Rouché-Capelli e di Cramer.
Studio di funzioni. Proprietà delle funzioni continue, della derivata, della funzione esponenziale e del logaritmo. Teorema di de l’Hospital e formula di Taylor.
Integrali definiti e indefiniti: teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione.
Contenuto del corso - Cognomi E-M
Vettori e matrici. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori. Richiami di geometria analitica piana. Geometria analitica dello spazio: rette e piani. Problemi angolari e metrici. Numeri reali. Funzioni reali di variabile reale. Limiti, continuità. Differenziabilità, teoremi fondamentali del calcolo differenziale e applicazioni allo studio di funzioni. Elementi di calcolo integrale.
Testi consigliati: Saranno consegnate dal docente le dispense del corso. Per eventuali approfondimenti possono essere consultati
G. Anichini, G. Conti Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi, S. Vessella Note ed esercizi svolti di Calcolo 1 Pitagora editrice.
G. Anichini, G. Conti Calcolo 2 Pitagora editrice.
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di Geometria analitica Pitagora editrice.
G.Anichini-G.Conti "Analisi Matematica I" Edizione Pearson.
G.Anichini-G.Conti "Geometria analitica e algebra lineare" Edizione Pearson.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
Il corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi matematica che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei successivi argomenti dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-M
IL corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi che possano da una parte fornire un valido bagaglio culturale per la figura di architetto, dall'altra diano una solida base formativa utile alla piena comprensione dei corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Cognomi N-Z
Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti matematici necessari ad affrontare altri corsi come Statica, Scienza delle costruzioni, Fisica tecnica, Geometria descrittiva.
Prerequisiti - Cognomi A-D
Nozioni di base di algebra e geometria previste nei programmi delle scuole secondarie superiori.
Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Risoluzione di equazioni algebriche, trigonometriche, logaritmiche, esponenziali.
Prerequisiti - Cognomi E-M
Le nozioni geometriche e algebriche della scuola media inferiore e superiore.
Prerequisiti - Cognomi N-Z
Calcolo algebrico e nozioni di geometria della scuola superiore.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi E-M
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi N-Z
Lezioni ed esercitazioni
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-D
Esame finale con prova scritta e orale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-M
Compito scritto e orale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi N-Z
Prova scritta e prova orale
Programma del corso - Cognomi A-D
Elementi di teoria degli insiemi: Insiemi e sottoinsiemi. Unione ed intersezione tra insiemi. Differenza tra insiemi. Prodotto cartesiano. Il concetto di funzione. Dominio ed immagine di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche; funzioni composte. Invertibilità. Grafico di una funzione. Relazione d'ordine e relazione d'equivalenza.
Insiemi numerici: Il principio d'induzione. Numeri razionali. Assiomi dei numeri reali. Estremo inferiore ed estremo superiore. Assioma di completezza per i numeri reali. Radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo. Potenze ad esponente razionale e reale di numeri reali positivi. Logaritmi e loro proprietà. Valore assoluto.
Matrici: Operazioni sulle matrici, determinante di una matrice quadrata, minori e caratteristica di una matrice; matrice trasposta e matrice inversa; rango di una matrice e riduzione a scala.
Sistemi lineari: Metodo di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli, Teorema di Cramer; sistemi omogenei e non omogenei.
Algebra vettoriale: Operazioni tra vettori: somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto; interpretazione geometrica delle operazioni; angolo tra due vettori e proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore.
Geometria analitica: Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio; equazione vettoriale e cartesiana di una retta nel piano; equazioni cartesiane ed equazione vettoriale di una retta nello spazio; equazione cartesiana di un piano dello spazio; condizioni di perpendicolarità e parallelismo, angoli tra rette e piani, distanze tra punti, rette e piani; fasci di rette e fasci di piani. Figure piane notevoli e loro simmetrie: circonferenze, ellissi, iperboli e parabole; coniche in forma canonica.
Spazi vettoriali: Combinazioni lineari e generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione di sottospazi vettoriali.
Limiti di funzioni: Definizione di limite al finito e all’infinito; unicità del limite; limite destro e limite sinistro; criteri per la non esistenza del limite, proprietà dei limiti, teorema della permanenza del segno, teorema dei carabinieri; limiti notevoli.
Funzioni reali di una variabile reale: Dominio e grafico di una funzione; funzioni continue e loro proprietà; Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi; definizione di derivata e sua interpretazione geometrica; proprietà della derivata e regole di derivazione; massimi e minimi relativi; Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange; Teorema di de l’Hospital e formula di Taylor.
Grafici di funzioni: Simmetrie, asintoti, intervalli di crescenza e decrescenza, intervalli di convessità e concavità, punti di flesso.
Integrali indefiniti: Definizione e proprietà degli integrali indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione; integrali immediati ed integrali notevoli.
Programma del corso - Cognomi E-M
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, complementare. Prodotto cartesiano. Applicazioni, grafico di un'applicazione, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, composte, inverse. Cenni di logica.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy (dim.). Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Definizione di funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrali immediati.Integrazione per parti e per sostituzione.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.
Programma del corso - Cognomi N-Z
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, complementare. Prodotto cartesiano. Applicazioni, grafico di un'applicazione, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, composte, inverse. Cenni di logica.
Assiomi dei numeri reali, valore assoluto, intervalli, sottoinsiemi limitati, massimo e minimo, estremo superiore e estremo inferiore. L'insieme di numeri reali esteso. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Potenze e radici di un numero reale, logaritmi. Topologia sulla retta: intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, punto interno, insiemi aperti e insiemi chiusi.
Funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni limitate superiormente (inferiormente), massimo e minimo assoluto di una funzione, massimo e minimo relativo di una funzione. Grafico di una funzione, funzioni pari, dispari, periodiche. Operazioni con le funzioni. Funzioni elementari: valore assoluto, funzioni polinomiali, razionali; funzioni potenze; funzione esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche e loro inverse; funzioni iperboliche. Grafici deducibili da quello di f. Funzioni definite a tratti.
Limiti: definizione, unicità del limite, limite della restrizione di una funzione, limite destro e sinistro, operazioni con i limiti, teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, teorema della permanenza del segno (dim.). Esistenza del limite destro e sinistro delle funzioni monotone. Cenni sul limite di una funzione composta. Limiti notevoli (dim. solo per lim((sin x)/x)). Infinitesimi, confronto di infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi (dim.). Infiniti, confronto di infiniti, principio di sostituzione degli infiniti. Il simbolo "o" piccolo. Operazioni con gli "o" piccolo. Funzioni continue, continuità della funzione composta. Punti di discontinuità. Teorema di Bolzano o degli zeri. Teorema dei valori intermedi, esistenza di radici di un polinomio di grado dispari. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Derivata: definizione e significato geometrico, la derivabilità implica la continuità (dim.), regole di derivazione. Derivazione della funzione composta, derivazione della funzione inversa. Derivate successive. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.) e corollari (dim.). Criterio di monotonia (dim.) e criterio di stretta monotonia. Teorema di Cauchy (dim.). Funzioni convesse in un intervallo. Funzioni convesse derivabili, funzioni convesse derivabili 2 volte. Teoremi di de l'Hopital. Fomula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Applicazioni al calcolo di limiti. Applicazioni della Fomula di Taylor allo studio di funzioni. Definizione di punto di flesso. Definizione di asintoti. Studio del grafico di una funzione.
Definizione di funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrali immediati.Integrazione per parti e per sostituzione.
Matrici, operazioni tra matrici, determinante, caratteristica.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (dim.).Teorema di Cramer. Metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Inversa di una matrice.
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori, prodotto scalare, vettoriale, misto. Combinazione lineare di vettori.
Geometria analitica nel piano. Coordinate polari. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiana della retta, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Angolo tra due rette, coefficiente angolare. Distanze.
Geometria analitica nello spazio. Equazioni parametriche della retta, equazioni parametriche e cartesiana del piano. Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Equazioni cartesiane della retta. Fascio di piani. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e perpendicolarità tra una retta e un piano. Problemi angolari. Distanze. Rette sghembe.
Definizione di spazio vettoriale. Generatori, base, dimensione. Sottospazi vettoriali. Aplicazioni lineari. Matrice associata. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazioni di matrici e di endomorfismi.