conoscenze matematiche degli istituti superiori pre universitari
Contenuto del corso - Cognomi H-Z
Algebra lineare e geometria analitica. Analisi delle funzioni di una variabile. Elementi di analisi delle funzioni di due variabili. La Sezione Aurea in matematica e in architettura.
M. Bertsch - Istituzioni di Matematica – Ed. Boringhieri.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa – Matematica. Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare-Ed. Zanichelli.
P. Marcellini, C. Sbordone – Calcolo – Ed. Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica–Ed. Liguori.
Luca Chiantini, Algebra lineare e geometria analitica, con esercizi commentati e risolti, CEA (1998).
Boris Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica, Editori riuniti (2010).
Andrea Ratto e Antonio Cazzani, Matematica per le scuole di architettura, Liguori (2010).
Obiettivi Formativi - Cognomi A-G
Fornire all'allievo architetto quegli strumenti matematici indispensabili per la sua formazione tecnico-scientifica necessaria alla sua futura attività professionale.
Obiettivi Formativi - Cognomi H-Z
Verranno forniti gli strumenti di algebra lineare, di geometria analitica e di analisi matematica necessari alla formazione dei futuri architetti. Verrà data un’enfasi particolare all’intuizione geometrica e alla visualizzazione delle nozioni trattate.
Prerequisiti - Cognomi A-G
La conoscenza delle nozioni di base della matematica fornite dalle Scuole frequentate prima dell'accesso all'Università.
Prerequisiti - Cognomi H-Z
Conoscenza dei fondamenti di matematica insegnati nella scuola secondaria superiore. Prima di sostenere l'esame, sarà necessario assolvere un debito formativo superando un test di valutazione.
Metodi Didattici - Cognomi A-G
Lezioni frontali ex-cattedra ed esercitazioni per le necessarie applicazioni.
Metodi Didattici - Cognomi H-Z
Lezioni teoriche ed esercitazioni. Faremo uso della piattaforma di e-learning Edmodo.
Altre Informazioni - Cognomi H-Z
Uso del motore di ricerca computazionale WolframAlpha per risolvere gli esercizi e visualizzare le nozioni trattate.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-G
prova scritta e prova orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi H-Z
Esercizi da svolgere sulla piattaforma Edmodo. Una prova scritta e una successiva prova orale. Sono previste due prove di esonero dallo scritto.
Programma del corso - Cognomi A-G
Corso di laurea in Scienze dell'Architettura
Programma di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - corso A - Prof. O. Arena
Anno Accademico 2017-18
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TEORIA DEGI INSIEMI – Generalità. Unioni, intersezioni, complementi. Prodotto cartesiano.
Applicazioni fra insiemi. Applicazioni suriettive, iniettive , biiettive. Applicazioni composte. Applicazioni inverse.
I NUMERI REALI - I numeri naturali. I numeri relativi. Il campo ordinato dei numeri razionali. I numeri irrazionali. Il campo ordinato dei numeri reali e le sue proprietà algebriche e topologiche. Il numero aureo. La proporzione aurea ed il suo rilievo nelle strutture architettoniche. Definizione e proprietà del minimo e del massimo di un insieme numerico di numeri reali. L'estremo inferiore e l'estremo superiore. Binomio di Newton. Coefficienti binomiali e cenni di analisi combinatoria.
I NUMERI COMPLESSI - I numeri complessi come estensione dei numeri reali. La loro forma algebrica e quella trigonometrica. Radici n-esime di un numero complesso. Loro rappresentazione nel piano di Gauss ed il problema della ciclotomia. Il teorema fondamentale dell'algebra.
LA GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO – Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Le coordinate cartesiane e le coordinate polari di un punto. Traslazioni. Rotazioni. Distanza tra due punti. Equazione della retta. Distanza di un punto da una retta. Parallelismo e ortogonalità tra rette. Circonferenza. Ellisse. Iperbole. Parabola. Le sezioni coniche. Luoghi geometrici.
L'ALGEBRA VETTORIALE E LE SUE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA – Lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri reali. Lo spazio vettoriale per n=2 e per n=3. Lunghezza e norma di un vettore. I versori fondamentali. Lineare dipendenza e lineare indipendenza di vettori. Basi. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Proiezione di un vettore su un altro vettore. Angolo fra vettori. Coseni direttori. Parallelismo e ortogonalità fra vettori. Prodotto misto di tre vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Applicazioni dell'algebra vettoriale alla geometria. Distanza fra due punti. L'equazione di un piano. Vettori normali a piani. Angolo fra piani. Angolo fra una retta ed un piano.
Distanza di un punto da un piano. Parallelismo e ortogonalità fra rette. Parallelismo e ortogonalità fra piani. Mutua posizione fra rette e piani. Distanza fra due rette sghembe. Distanza tra piani. Problemi geometrici nello spazio tridimensionale.
MATRICI E DETERMINANTI – Generalità sulle matrici. Lo spazio lineare delle matrici. Determinante di una matrice quadrata. Calcolo e proprietà dei determinanti. Prodotto fra matrici (righe per colonne). Teorema di Binet. Matrice inversa di una matrice quadrata non singolare. La costruzione della matrice inversa ed il suo determinante. Rango o caratteristica di una matrice. Determinanti e indipendenza di vettori. Diagonalizzazione di una matrice quadrata. Autovalori ed autovettori. Applicazioni.
SISTEMI LINEARI – Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Sistemi di vincoli lineari omogenei e non omogenei. Il caso m=n. La regola di Cramer. Il caso generale ed il teorema di Rouchè-Capelli. Interpretazione geometrica dei risultati. Applicazioni.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE – Generalità. Grafici di funzioni. Funzioni elementari. Il caso delle successioni. Funzioni monotone. Minimo e massimo, estremo inferiore ed estremo superiore di una funzione. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni trigonometriche. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali. Funzioni logaritmiche. Funzioni iperboliche. La potenza ad esponente reale di un numero reale positivo definita per mezzo dell'esponenziale e del logaritmo. Le funzioni arcsenx, arccosx, arctgx. Limiti (in un punto al finito ed all'infinito) delle funzioni di una variabile reale. Proprietà dei limiti. Calcolo dei limiti. Limiti notevoli.
FUNZIONI CONTINUE – Definizione di continuità. Funzioni discontinue. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. Esistenza del minimo assoluto e del massimo assoluto. Proprietà dei valori intermedi. Teorema sull'esistenza degli zeri per le funzioni con valori discordi agli estremi di un intervallo.
CALCOLO DIFFERENZIALE – Definizione di derivata di una funzione di una variabile. Interpretazione geometrica. Retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivazione della somma, delle combinazioni lineari, del prodotto, del quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate successive a quella di ordine uno. Continuità delle funzioni derivabili. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Regola di de l'Hopital per il calcolo dei limiti in forma indeterminata. Conseguenze del teorema di Lagrange. Funzioni con derivata identicamente nulla. Crescenza, decrescenza. Definizione e significato dei punti di minimo relativo e di massimo relativo. Concavità, convessità. Punti di flesso. Criteri per la ricerca degli estremi relativi e per lo studio della concavità, della convessità e dei flessi. Grafici. Analisi di dati sperimentali. Media aritmetica, varianza, deviazione standard. La distribuzione gaussiana.
APPROSSIMAZIONE LOCALE DELLE FUNZIONI MEDIANTE POLINOMI – Polinomi di Taylor di grado n. Formula di Taylor. Resto n-esimo della formula di Taylor nella forma di Lagrange. Approssimazione locale in un assegnato intervallo di una funzione con polinomi di grado opportuno. Linearizzazione. Stima dell'errore. Applicazioni.
ELEMENTI DI TEORIA DEL CALCOLO INTEGRALE – Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Ricerca di primitive di funzioni. Il metodo di integrazione per decomposizione. Il metodo di integrazione per sostituzione. Il metodo di integrazione per parti. Integrazione di una funzione razionale. Il problema dell'area di una regione piana: il metodo di esaustione ed il calcolo integrale. L'integrale definito e le sue proprietà. Il teorema della media. La funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Le sue applicazioni al calcolo dell'area di regioni piane ed al calcolo del volume di solidi di rotazione.
FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI.- Funzioni f(x,y) definite in domini piani ed a valori in R. Campi scalari f(x,y) continui. Curve di livello. Derivate parziali ed il vettore gradiente. La matrice hessiana delle derivate seconde. Derivata direzionale. La nozione di differenziabilità. Rappresentazione geometrica della superficie di equazione z = f(x,y) nello spazio tridimensionale. Piano tangente. Punti di minimo e punti di massimo. Punti di sella. Esistenza di minimo e massimo assoluti per campi scalari continui in regioni piane limitate. Sul metodo dei minimi quadrati. La retta di regressione, relativa alla valutazione di dati sperimentali. Studio sulla ricerca di estremi vincolati per le funzioni di due variabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
CALCOLO INTEGRALE PER CAMPI SCALARI IN DUE VARIABILI – Calcolo di integrale doppio di funzione f(x,y) mediante procedimento di integrazioni successive. Calcolo di integrale doppio mediante procedimento di sostituzione lineare o di sostituzione in coordinate polari. Il determinante Jacobiano della trasformazione . Integrale doppio per il calcolo del volume del cilindroide relativo a f(x,y) e ad una data regione piana.
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CURVE E SUPERFICI – Curve nel piano e curve nello spazio. Rappresentazione parametrica di una curva. La lunghezza di una curva. La curvatura di una curva. Superfici. Le superfici di rotazione. Sfere. Ellissoidi. Iperboloidi. Paraboloidi. Paraboloidi ellittici. Paraboloidi iperbolici. Le superfici cilindriche. Cilindri. Coni.
ELEMENTI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE – Equazioni differenziali del 1° ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine omogenee e non omogenee. Equazioni differenziali lineari del 2° ordine, a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Studio del problema di Cauchy per le equazioni differenziali del 1° e del 2° ordine. Applicazioni.
BIBLIOGRAFIA
M. Bertsch - Istituzioni di Matematica – Ed. Boringhieri.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa – Matematica. Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare-Ed. Zanichelli.
P. Marcellini, C. Sbordone – Calcolo – Ed. Liguori.
P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica – Ed. Liguori.
Programma del corso - Cognomi H-Z
Algebra lineare: vettori, matrici, sistemi lineari, autovalori e autovettori. Geometria analitica del piano e dello spazio: rette, piani e coniche. Analisi delle funzioni di una variabile: dominio, limiti, continuità, derivata, massimi e minimi relativi e assoluti, convessità e concavità, studio di funzione, integrale indefinito e definito e applicazioni. Analisi delle funzioni di due variabili: derivate parziali, massimi e minimi relativi, integrali doppi. La Sezione Aurea in matematica e architettura; i tasselli di Penrose.