Matrici e determinanti. Sistemi lineari. Coordinate e vettori. Geometria analitica del piano. Geometria analitica dello spazio. Spazi vettoriali e autovalori. Funzioni di una variabile. Limiti e continuità. Derivazione. Integrazione. Cenni sulle funzioni di due o più variabili. Cenni al calcolo differenziale in più variabili. Cenni sugli integrali multipli.
Contenuto del corso - Cognomi N-Z
Geometria analitica e vettoriale nel piano e nello spazio. Spazi vettoriali.
Matrici, loro diagonalizzazione e loro utilizzo nella risoluzione dei sistemi lineari.
Funzioni di una o due variabile. Calcolo differenziale e calcolo integrale.
Applicazioni alla ottimizzazione e al calcolo dei centri di massa di figure piane.
G.Anichini-G.Conti "Geometria analitica e algebra lineare" Edizione Pearson.
G.Anichini-G.Conti "Analisi Matematica I" Edizione Pearson.
G.Anichini-G.Conti "Analisi Matematica II" Edizione Pearson.
Sono disponibili in formato digitale alcune dispense e serie di esercizi.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-M
Il corso intende fornire gli strumenti di base di geometria e analisi essenziali all'accesso ai corsi successivi dell'area scientifica e tecnica.
Obiettivi Formativi - Cognomi N-Z
Il corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione dei concetti di geometria e analisi che possono ritrovare durante il loro percorso universitario.
Il corso intende anche rafforzare la capacità di applicare conoscenza e comprensione allo svolgimento di esercizi tipici ed alla soluzione di problemi pratici.
Prerequisiti - Cognomi E-M
Nozioni di base di algebra e geometria previste nei programmi delle scuole secondarie superiori. Trigonometria. Logaritmi e esponenziali. Risoluzione di equazioni algebriche, trigonometriche, logaritmiche, esponenziali.
Prerequisiti - Cognomi N-Z
Buona padronanza dei concetti di algebra e geometria previsti nei programmi di tutte le scuole secondarie superiori. Conoscenza delle definizioni di funzioni trigonometriche, logaritmiche ed esponenziali.
Metodi Didattici - Cognomi E-M
Lezioni ed esercitazioni in aula e online.
Metodi Didattici - Cognomi N-Z
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Altre Informazioni - Cognomi E-M
Un breve precorso e dispense sono visibili nel moodle del corso.
Altre Informazioni - Cognomi N-Z
Dispense, esercizi di preparazione alle prove intermedie o allo scritto finale e modalità delle prove sono disponibili sulla pagina Moodle del corso.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-M
Prova scritta e orale. Sono previste prove intermedie sostitutive dello scritto durante l'anno accademico.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi N-Z
Prova scritta e prova orale. Sono previste prove intermedie durante l'anno accademico, il superamento delle quali esonera dallo scritto finale.
Programma del corso - Cognomi E-M
Matrici e determinanti: matrici; operazioni fra matrici; prodotto fra matrici; determinanti; combinazioni lineari; caratteristica e rango di una matrice.
Sistemi lineari: equazioni lineari; sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli; regola di Cramer; metodo di Gauss; sistemi lineari omogenei; inversa di una matrice.
Coordinate e vettori: coordinate cartesiane nel piano e nello spazio; vettori; prodotto scalare; prodotto vettoriale; prodotto misto; combinazioni lineari.
Geometria analitica del piano: coordinate polari; cambiamento di riferimento; equazione della retta; parallelismo e perpendicolarità fra rette; angolo fra due rette; equazione della retta in forma esplicita; distanza di un punto da una retta; circonferenza; ellisse; iperbole; parabola; coniche in generale.
Geometria analitica dello spazio: equazione parametrica della retta; equazione del piano; parallelismo e perpendicolarità fra piani; equazioni cartesiane della retta, fascio di piani; parallelismo e perpendicolarità fra rette; parallelismo e perpendicolarità fra una retta e un piano; questioni angolari nello spazio; distanza di un punto da un piano e da una retta; rette sghembe; cenni su curve e superfici dello spazio; quadriche.
Spazi vettoriali e autovalori: spazio vettoriale; sottospazi vettoriali; basi e dimensione; applicazioni lineari; autovettori e autovalori; diagonalizzazione di matrici; cenni al teorema spettrale nel caso di matrici simmetriche.
Funzioni di una variabile: richiami sui numeri reali; richiami sulle funzioni; topologia della retta reale; esempi di funzioni reali di una variabile reale e loro grafici.
Limiti e continuità: limite di una funzione; funzioni continue; proprietà delle funzioni continue; asintoti.
Derivazione: derivata di una funzione; derivate successive; regole di derivazione; massimi e minimi relativi; alcune proprietà; derivabilità e monotonia; convessità e concavità; applicazioni delle derivate.
Integrazione: definizione di integrale; proprietà principali dell’integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; alcune tecniche di integrazione; calcolo di aree e volumi, centro di massa.
Cenni sulle funzioni di due o più variabili: dominio; grafico; curve di livello.
Cenni al calcolo differenziale in più variabili: derivate parziali; gradiente; punti critici.
Integrali multipli: integrali doppi; calcolo di integrali doppi; cambiamento di variabili; applicazioni; calcolo del baricentro di una lamina piana.
Programma del corso - Cognomi N-Z
Spazi vettoriali. Somma di vettori, prodotto per uno scalare, prodotto scalare tra vettori, prodotto vettoriale e prodotto misto tra vettori tridimensionali; interpretazione geometrica delle operazioni; angolo tra due vettori e proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore; combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione di un sottospazio vettoriale.
Geometria analitica. Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio; equazione vettoriale e cartesiana di una retta nel piano e nello spazio; equazione cartesiana di un piano dello spazio; condizioni di perpendicolarità e parallelismo, angoli tra rette e piani, distanze tra punti, rette e piani; fasci di rette e fasci di piani. Figure piane notevoli e loro simmetrie: circonferenze, ellissi, iperboli e parabole; coniche in forma canonica. Le quadriche in forma canonica; le quadriche rigate. Cambiamento di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, traslazioni e rotazioni.
Matrici. Somma di matrici e prodotto righe per colonne, determinante di una matrice quadrata, minori e caratteristica di una matrice; matrice trasposta e matrice inversa; rango di una matrice e riduzione a scala. Matrice associata ad una trasformazione lineare. Autovalori, autovettori, autospazi e criterio di diagonalizzazione di una matrice quadrata.
Sistemi lineari. Metodo di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli, Teorema di Cramer e Teorema di Kronecker; sistemi omogenei e non omogenei.
Funzioni di una variabile. Definizione e unicità del limite, criteri per la non esistenza del limite, proprietà dei limiti, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto; limiti notevoli. Dominio di una funzione; funzioni continue e loro proprietà; Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi; definizione di derivata e sua interpretazione geometrica; proprietà della derivata e regole di derivazione; massimi e minimi relativi; Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange; Teorema di de l'Hôpital e formula di Taylor. Grafici di funzioni, simmetrie, asintoti, intervalli di crescenza e decrescenza, intervalli di convessità e concavità, punti di flesso. Definizione, proprietà ed interpretazione geometrica degli integrali definiti e indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione; integrali immediati ed integrali notevoli. Applicazione al calcolo delle aree di una regione piana.
Funzioni di due variabili. Grafico di una funzione e sue curve di livello; derivate direzionali, derivate parziali e gradiente di una funzione; legame tra il gradiente e le curve di livello e tra il gradiente ed il piano tangente al grafico di una funzione; punti critici e loro classificazione mediante la matrice hessiana; sostituzione o metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei massimi e minimi vincolati. Integrali doppi e loro applicazione al calcolo di un volume, al calcolo del centro di massa e dei momenti d'inerzia di una lastra piana; cambiamento di variabili negli integrali doppi e passaggio alle coordinate polari.
Numeri complessi. Operazioni nei numeri complessi, rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di numeri complessi; radici complesse coniugate di un polinomio a coefficienti reali; cenno alla funzione esponenziale complessa.